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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.8.
Calcular los límites indicados, para $x$ tendiendo a infinito.
h) $\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^{2}+3}$
h) $\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^{2}+3}$
Respuesta
Ahora tenemos que resolver este límite:
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^{2} + 3}\right) $
Fijate que al reemplazar \( x \) por \( +\infty \) obtenemos una indeterminación de tipo \( \infty - \infty \). Para salvar esta indeterminación, especialmente cuando nos aparecen raíces cuadradas ahí dando vueltas, en clase vimos que una estrategia que puede ser útil es multiplicar y dividir por el conjugado. Si hacemos nos quedaría:
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$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 3}\right) \cdot \frac{(x + \sqrt{x^2 + 3})}{x + \sqrt{x^2 + 3}} $
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 + 3}) (x + \sqrt{x^2 + 3})}{x + \sqrt{x^2 + 3}} $
En el numerador nos quedó algo multiplicado por su conjugado, eso nos quedaría simplemente como una diferencia de cuadrados (es decir, el primer término al cuadrado $\textbf{menos}$ el segundo término al cuadrado)
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 3)}{x + \sqrt{x^2 + 3}} = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-3}{x + \sqrt{x^2 + 3}} $
Fijate que si tomamos límite, el numerador tiende a $-3$ y el denominador tiende a $+\infty$... Por lo tanto, número sobre algo que tiende a infinito es cero, perfecto, todo hermoso, salvamos la indeterminación, este límite nos diooo...
$ \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 3}\right) = 0 $