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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

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2.8. Calcular los límites indicados, para xx tendiendo a infinito.
h) lim⁡x→+∞x−x2+3\lim _{x \rightarrow+\infty} x-\sqrt{x^{2}+3}

Respuesta

Ahora tenemos que resolver este límite: lim⁡x→+∞(x−x2+3) \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^{2} + 3}\right) Fijate que al reemplazar x x por +∞ +\infty obtenemos una indeterminación de tipo ∞−∞ \infty - \infty . Para salvar esta indeterminación, especialmente cuando nos aparecen raíces cuadradas ahí dando vueltas, en clase vimos que una estrategia que puede ser útil es multiplicar y dividir por el conjugado. Si hacemos nos quedaría:

lim⁡x→+∞(x−x2+3)⋅(x+x2+3)x+x2+3 \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 3}\right) \cdot \frac{(x + \sqrt{x^2 + 3})}{x + \sqrt{x^2 + 3}}

lim⁡x→+∞(x−x2+3)(x+x2+3)x+x2+3 \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{(x - \sqrt{x^2 + 3}) (x + \sqrt{x^2 + 3})}{x + \sqrt{x^2 + 3}}
  En el numerador nos quedó algo multiplicado por su conjugado, eso nos quedaría simplemente como una diferencia de cuadrados (es decir, el primer término al cuadrado menos\textbf{menos} el segundo término al cuadrado) lim⁡x→+∞x2−(x2+3)x+x2+3=lim⁡x→+∞−3x+x2+3 \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 3)}{x + \sqrt{x^2 + 3}} = \lim _{x \rightarrow +\infty} \frac{-3}{x + \sqrt{x^2 + 3}}
Fijate que si tomamos límite, el numerador tiende a −3-3 y el denominador tiende a +∞+\infty... Por lo tanto, número sobre algo que tiende a infinito es cero, perfecto, todo hermoso, salvamos la indeterminación, este límite nos diooo... lim⁡x→+∞(x−x2+3)=0 \lim _{x \rightarrow +\infty} \left(x - \sqrt{x^2 + 3}\right) = 0
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